Да, конечно, с помощью оригинала "Satoshi" клиент (он же Bitcoin-Qt), который можно найти на bitcoin.org. Вам не нужно "-qt" часть с UI, он также поставляется с клиентом командной строки. Сначала нужно настроить демон на сервере, который может быть запущен с "bitcoind -daemon", Когда она работает, вы можете использовать "bitcoind" для выполнения различных задач - см "bitcoind помощь" для стартера.

Чтобы создать адрес бумажника, используйте "bitcoind getnewaddress" (Как простейший метод). Для проверки входящих транзакций, вы можете периодически запускать "bitcoind listtransactions" и если что-то новое произошло; Кроме того, существует и другие команды, которые могут быть использованы для извлечения остатка по адресам.

Я пока не понимаю, что именно вы хотите сделать на вашем сайте. Является ли это магазин? Или это должен быть электронный кошелек? Что-то другое? Может быть, я могу помочь вам, если я понимаю, что лучше.